Aşağıdaki dört makale dizisi American Society of Mechanical Engineers (ASME) dergisinde yayınlandı. sonlu elemanlar yöntemi olarak bilinen son analiz disiplinine giriş niteliğindedir. Yazar, sonlu eleman analizi konusunda uzmanlaşmış bir mühendislik danışmanı ve uzman tanıktır.
SONLU ELEMAN ANALİZİ: Çözüm
Steve Roensch, Başkan, Roensch & Associates
Dört bölümlük bir dizide üçüncü
Sonlu elemanlar yönteminin ön işleme ve işleme sonrası aşamaları analist için etkileşimli ve zaman alıcı olsa da, çözüm genellikle toplu bir işlemdir ve bilgisayar kaynağı gerektirir. Yönetim denklemleri matris formunda birleştirilir ve sayısal olarak çözülür. Montaj süreci yalnızca analiz türüne (örneğin, statik veya dinamik) değil, aynı zamanda modelin eleman türlerine ve özelliklerine, malzeme özelliklerine ve sınır koşullarına da bağlıdır.
Doğrusal statik yapısal analiz durumunda, birleştirilmiş denklem Kd = r biçimindedir, burada K sistem sertlik matrisidir, d düğüm serbestlik derecesi (dof) yer değiştirme vektörü ve r , uygulanan düğüm yükü vektörüdür. Bu denklemi değerlendirmek için, temelde yatan esneklik teorisi ile başlamak gerekir. Gerinim-yer değiştirme ilişkisi, gerilmeyi yer değiştirme cinsinden ifade etmek için gerilme-gerinim ilişkisine dahil edilebilir. Uyumluluk varsayımı altında, sınır koşullarıyla uyum içinde olan dengenin diferansiyel denklemleri, daha sonra gerinim ve gerilme alanlarını belirleyen benzersiz bir yer değiştirme alanı çözümü belirler. Bu denklemleri doğrudan çözme şansı, en önemsiz geometriler dışında hiçbir şey için yok denecek kadar azdır, bu nedenle yaklaşık sayısal tekniklere duyulan ihtiyaç kendini gösterir.
Bir sonlu eleman ağı aslında bir öteleme-düğüm yer değiştirme ilişkisidir ve eleman ara değerleme şeması aracılığıyla, düğüm noktası dofunun değerleri verilen bir elemanın herhangi bir yerindeki yer değiştirmeyi belirler. Bu ilişkiyi gerinim yer değiştirme ilişkisine girerek, gerilimi düğüm yer değiştirme, eleman ara değerleme şeması ve diferansiyel operatör matrisi cinsinden ifade edebiliriz. Elastik bir cismin potansiyel enerjisi için ifadenin depolanan (gerinim alanına bağlı olarak) gerinim enerjisi için bir integral ve dış kuvvetler (yer değiştirme alanına bağlı olarak) tarafından yapılan iş için integralleri içerdiğini hatırlayarak, bu nedenle sistem potansiyel enerjisini düğüm yer değiştirme şartları.
Minimum potansiyel enerji ilkesini uygulayarak, düğüm noktalı dof vektörüne göre potansiyel enerjinin kısmi türevini sıfıra ayarlayabiliriz, sonuç olarak: düğüm yer değiştirme vektörü ile çarpılan eleman sertlik integrallerinin toplamı, yük integrallerinin toplamına eşittir. . Her rijitlik integrali, sistem rijitlik matrisini oluşturmak için toplanan bir eleman sertlik matrisiyle sonuçlanır ve yük integrallerinin toplamı, uygulanan yük vektörünü verir ve sonuçta Kd = r elde edilir. Uygulamada, entegrasyon kuralları elemanlara uygulanır, yükler r vektöründe görünür ve düğüm noktası sınır koşulları d vektöründe görünebilir veya denklemin dışına bölünebilir .
Sonlu eleman matris denklemleri için çözüm yöntemleri bol miktarda bulunur. Doğrusal statik Kd = r durumunda, K ‘nin tersine çevrilmesi hesaplama açısından pahalıdır ve sayısal olarak kararsızdır. Daha iyi bir teknik, Cholesky çarpanlarına ayırma, bir Gauss eliminasyonu biçimi ve “LDU” çarpanlara ayırma temasında küçük bir varyasyondur. K matrisi verimli bir şekilde LDU olarak çarpanlarına ayrılabilir, burada L daha düşük üçgen, D köşegendir ve < B> U üst üçgendir ve LDUd = r ile sonuçlanır. L ve D kolayca ters çevrilebildiğinden ve U üst üçgen olduğundan, d geri ikame ile belirlenebilir . Diğer bir popüler yaklaşım, denklemleri aynı anda bir araya getiren ve azaltan wavefront yöntemidir. En iyi modern çözüm yöntemlerinden bazıları seyrek matris tekniklerini kullanır. Düğümden düğüme katılıklar yalnızca yakın düğüm çiftleri için sıfır olmadığından, sertlik matrisi çok sayıda sıfır girişine sahiptir. Bu durum, çözüm süresini ve depolamayı 10 kat veya daha fazla azaltmak için kullanılabilir. İyileştirilmiş çözüm yöntemleri sürekli olarak geliştirilmektedir. Kilit nokta, analistin uygulanan çözüm tekniğini anlaması gerektiğidir.
Çok fazla analist için dinamik analiz, normal modlar anlamına gelir. Bir tasarımın doğal frekansları ve mod şekillerinin bilgisi, mevcut bir ürünün veya prototipin tek frekanslı titreşimi durumunda yeterli olabilir; FEA, kütle, sertlik ve sönümleme değişikliklerinin etkilerini araştırmak için kullanılır. Gelecekteki bir ürünü veya birden çok modun uyarıldığı mevcut bir tasarımı araştırırken, her zaman adımında yer değiştirmeyi ve hatta dinamik gerilimi tahmin etmek için beklenen geçici veya frekans ortamını uygulamak için zorunlu yanıt modellemesi kullanılmalıdır.
Bu tartışma, enterpolasyon polinomlarının sırasının sabit olduğu h-kodu öğelerini varsaymıştır. Diğer bir teknik olan p-kodu, sırayı yakınsamaya kadar yinelemeli olarak artırır ve bir analizden sonra hata tahminleri mevcuttur. Son olarak, sınır öğesi yöntemi, öğeleri yalnızca geometrik sınır boyunca yerleştirir. Bu tekniklerin sınırlamaları vardır, ancak yakın gelecekte daha fazlasını görmeyi umuyoruz.
Önümüzdeki ayın makalesi, sonlu eleman yönteminin işlem sonrası aşamasını tartışacak.
telif hakkı 2005 Roensch & Associates. Tüm hakları Saklıdır.
GIPHY App Key not set. Please check settings