2500 yıllık Pisagor Teoremi

Sisamlı Pisagor, matematik, astronomi ve müzik teorisindeki önemli gelişmelerden sorumlu bir Yunan filozofuydu. Orada hüküm süren tiran yüzünden Samos’tan ayrıldı ve MÖ 532 civarında güney İtalya’ya gitti. Croton’da birçok takipçisi olan felsefi ve dini bir okul kurdu.

PİSAGOR TEOREMİ

Artık Pisagor’un teoremi olarak bilinen teorem, 1000 yıl önce Babilliler tarafından bilinmesine rağmen, bunu ispatlayan ilk kişi olabilir.

Gerçek şu ki

DOĞRU ÜÇGENİN HİPOTENÜSÜNÜN KARESİ, YAKIN İKİ TARAFIN KARE TOPLAMINA EŞİTTİR.

Bir efsaneye göre Pisagor (M.Ö.580 – M.Ö.500) teoremi Samos şehrinin zalim hükümdarı Polycrates’i görmeyi beklerken keşfetti. Bir saray salonunda topuklarını serinleten Pisagor, zeminin kare döşemesini düşünerek zaman geçirdi. Bir kareyi kesen çapraz bir çizginin kareyi iki dik üçgene nasıl böleceğini hayal etti. Köşegen üzerine dikilen bir karenin alanının, bitişik bir tarafa dikilen karenin alanının iki katı olduğunu belirtti. Başka bir deyişle, hipotenüs üzerindeki kare, üçgenin iki ayağı üzerindeki karelerin toplamına eşittir. Pisagor, bacaklar eşit olmayan uzunluklara sahip olduğunda aynı ilişkinin geçerli olacağına inanmaya başladı.

Ancak teoremin tarihi, bu efsanenin önerdiğinden daha karmaşıktır. Örneğin bir dik açı oluşturmak için 3-4-5 üçgenin kullanımı Mısır, Babil ve Çin’de çok daha eskilere dayanmaktadır. Vermont Üniversitesi’nden Roger Cooke Matematik Tarihi ders kitabında Babillilerin Pisagor teoremini Pisagor’dan 1000 yıl önce nasıl keşfetmiş olabileceklerini anlatıyor.

Cooke, açıklamasını Platon’un diyalogu Meno’daki bir pasaja dayandırarak, keşfin birisinin, ya pratik bir amaç için ya da belki de sadece eğlence için, belirli bir karenin iki katı büyüklüğünde bir kare inşa etmeyi gerekli gördüğünde ortaya çıktığını öne sürer. Bir karenin kenarını ikiye katlamak aslında karenin alanını dört katına çıkarır. Bir süre dörtlü kareyi düşünürseniz, bitişik kenarların orta noktalarını birleştirmeyi düşünebilirsiniz – aslında, orijinal karenin dört kopyasının köşegenlerini çizin.

“Bunu yapmak, daha büyük karenin merkezinde, hipotenüsü merkez karenin kenarına eşit olan bir dik üçgenin dört kopyasıyla çevrili bir kare oluşturur; ayrıca bu dik üçgenin ayaklarındaki iki kareyi ve birlikte olan iki dikdörtgeni oluşturur. Alan olarak üçgenin dört kopyasına eşit, “diye yazıyor Cooke. Bu yapı Pisagor teoremine katkıda bulunur.

Veljan, “Pisagor teoremi, bağımsız olarak ve sıklıkla yeniden keşfedilen önemli bir gerçeğin erken bir örneğiydi,” diyor. Dahası, bugün teoremin 400’den fazla farklı kanıtı bilinmektedir.

PİTAGOR ÜÇLEMELERİ

Plimpton 322 olarak bilinen ünlü Babil kil tableti bir adım daha ileri gidiyor. M.Ö.1900 döneminden kalma. ve MÖ 1600’lerde, tablette artık PYTHAGORAN ÜÇLEMLERİ olarak adlandırılan şeyleri görünüşte temsil eden sayı sütunları var.

A, b ve c tam sayıları bir Pisagor üçlüsüdür, eğer a ve b hipotenüs c ile bir dik üçgenin iki kenarının uzunluğuysa, yani a2 + b2 = c2.

Genel olarak, herhangi bir k sayısı için karşılık gelen Pisagor üçlüsü a = 2k + 1, b = 2k (k + 1) ve c = b + 1’dir. Örneğin, k = 1, a = 3, b = 4 olduğunda ve c = 5. k = 2, a = 5, b = 12 ve c = 13 olduğunda.

Babilliler altmış altı ya da 60 tabanlı bir sayı sistemi kullandılar. Plimpton tabletinde çivi yazısı ile yazılmış birkaç sütun sayı vardır. Aşağıdaki tablo, ondalık notasyonla yazılmış iki sütundaki sayıları göstermektedir. Görünen bir hata düzeltildi (4825, ikinci satırda 11521’in yerini alıyor).

119 169

3367 4825

4601 6649

12709 18541

65 97

319 481

2291 3541

799 1249

Matematik tarihçisi Howard Eves, her sayı çiftinin bir Pisagor üçlüsünün üç üyesinden ikisini temsil ettiğini, bir tarafa ve bir dik üçgenin hipotenüsüne karşılık geldiğini tahmin etti.

Sayılar, Pisagor üçlülerini bulmak için aşağıdaki formüle de uyar: a = 2uv, b = u2 – v2 ve c = u2 + v2, burada u ve v göreceli olarak asal, bir sayı tek, diğeri çift ve u v’den büyüktür. Örneğin, u = 12 ve v = 5, b = 119 ve c = 169 (tablonun ilk satırında verildiği gibi) ve a 120 olmalıdır.

Pisagor formülünü üç ve daha yüksek boyuttaki dik üçgenlere genişletmek kolaydır. Örneğin, bir birim uzunluğunda, b birim genişliğinde ve c birim yüksekliğinde olan dikdörtgen bir kutu için, diyagonal d şu ilişkiye uyar: d2 = a2 + b2 + c2. Dahası, bir kürenin yüzeyindeki, hiperbolik düzlemdeki ve diğer uzaylardaki üçgenler için benzer ilişkiler arayabilirsiniz.

Pisagor denklemini tamsayı kenarları 2’den büyük güçlere sahip üçgenler için genellemek, Fermat’ın son teoremine ve ABC varsayımına yol açar.

MUHTEŞEM ABC KONJEKTÜRÜ

Sayı teorisinde, açık ve mantıklı sorular sormak oldukça kolaydır; ancak bu soruların çoğunun cevaplanması şaşırtıcı derecede zor ve hatta imkansızdır.

Örneğin Fermat’ın son teoremi, x ^ n + y ^ n = z ^ n formunda bir denklem içerir. 300 yıldan daha uzun bir süre önce Pierre de Fermat (1601-1665), x, y ve z’nin tümü pozitif tamsayılarsa ve n, 2’den büyük bir tam sayı ise denklemin çözümü olmadığını varsaydı. Sonunda Princeton Üniversitesi’nden Andrew J. Wiles 1994 yılında Fermat’ın varsayımını kanıtladı.

Teoremi kanıtlamak için, Wiles’ın modern matematiğin özündeki birkaç fikirden yararlanması ve bunları genişletmesi gerekiyordu. Özellikle, cebirsel geometri ve karmaşık analiz olarak bilinen matematik dalları arasında bağlantılar sağlayan Shimura-Taniyama-Weil varsayımını ele aldı.

Bu varsayım, merhum Yutaka Taniyama’nın bunu Japonca olarak bir araştırma problemi olarak yayınladığı 1955 yılına dayanıyor. Princeton’dan Goro Shimura ve İleri Araştırmalar Enstitüsü’nden Andre Weil, eliptik eğriler adı verilen nesnelerin matematiği ile uzaydaki belirli hareketlerin matematiği arasında özel bir eşdeğerlik öneren varsayımı formüle etmede önemli bilgiler sağladı.

Fermat’ın son teoreminin denklemi, Diophantine denklemi olarak bilinen bir türün bir örneğidir – çözümleri rasyonel sayılar (tam sayılar veya tam sayıların oranları olan tam sayılar veya kesirler) olması gereken çeşitli değişkenlerin cebirsel ifadesi. Bu denklemler, Arithmetica adlı kitabında bu tür sorunları tartışan İskenderiyeli matematikçi Diophantus’un adını almıştır.

Aslında, Fermat’ın Fermat’ın son teoremi olarak bilinen önermeyi ilk kez ortaya koyduğu Arithmetica’nın Latince çevirisinin bir sayfasının kenarındaydı. Kitabı yakından incelemiş, kopyasında marjinal notlar almıştı. Fermat’ın ölümünden sonra oğlu, bir ekteki notları içeren yeni bir Arithmetica baskısı yayınladı.

İlginç bir şekilde, Fermat’ın son teoreminin Wiles kanıtı, Shimura-Taniyama-Weil varsayımını kanıtlamaya yönelik derin girişimlerinin bir yan ürünüydü. Şimdi, Wiles çabası, genel bir üç değişkenli Diophantine denklemleri teorisine giden yolu işaret etmeye yardımcı olabilir. Tarihsel olarak, matematikçiler her zaman bu tür problemleri duruma göre belirtmek ve çözmek zorunda kalmışlardır. Kapsayıcı bir teori muazzam bir ilerlemeyi temsil eder.

Kilit unsur, 1980’lerin ortalarında Paris VI Üniversitesi’nden Joseph Oesterle ve İsviçre’deki Basel Üniversitesi Matematik Enstitüsü’nden David W. Maser tarafından formüle edilen ABC varsayımı olarak adlandırılan bir sorun gibi görünüyor. Bu varsayım, Diophantine problemlerini ifade etmenin yeni bir yolunu sunuyor, aslında sonsuz sayıda Diophantine denklemini (Fermat’ın son teoreminin denklemi dahil) tek bir matematiksel ifadeye çeviriyor.

Sayı teorisindeki birçok problem gibi, ABC varsayımı da nispeten basit ve anlaşılır terimlerle ifade edilebilir. Kare içermeyen bir sayı kavramını içerir: herhangi bir sayının karesine bölünemeyen bir tam sayı. Örneğin, 15 ve 17 kare içermez, ancak 16 ve 18 değildir.

Bir n tamsayısının karesiz kısmı, n’nin asal çarpanları çarpılarak oluşturulabilen en büyük karesiz sayı olarak tanımlanır. Bu miktar, sqp (n) ile gösterilir. Dolayısıyla, n = 15 için asal çarpanlar 5 ve 3 ve 3 x 5 = 15, karesiz bir sayıdır. Yani sqp (15) = 15. Öte yandan, n = 16 için asal çarpanların tümü 2’dir, bu da sqp (16) = 2 anlamına gelir. Benzer şekilde, sqp (17) = 17 ve sqp (18) = 6 .

Genel olarak, n karesizse, n’nin karesiz kısmı sadece n’dir. Aksi takdirde, sqp (n), bir kareyi oluşturan tüm faktörler ortadan kaldırıldıktan sonra geriye kalan şeyi temsil eder. Başka bir deyişle, sqp (n), n’yi bölen farklı asal sayıların çarpımıdır. Yani sqp (9) = sqp (3 x 3) = 3; sqp (1400) = sqp (2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 7) = 2 x 5 x 7 = 70.

Columbia Üniversitesi’nden matematikçi Dorian Goldfeld, bu ön bilgilerle birlikte ABC varsayımını şu terimlerle açıklıyor: Sorun, hiçbir ortak faktörü olmayan sayı çiftleriyle ilgileniyor. A ve B’nin böyle iki sayı olduğunu ve C’nin bunların toplamı olduğunu varsayalım. Örneğin, eğer A = 3 ve B = 7 ise, C = 3 + 7 = 10. Şimdi, A x B x C ürününün karesiz kısmını düşünün: sqp (ABC) = sqp (3 x 7 x 10 ) = 210.

A ve B’nin çoğu seçeneği için sqp (ABC), yukarıdaki örnekte olduğu gibi C’den büyüktür. Diğer bir deyişle, sqp (ABC) / C 1’den büyüktür. Ancak arada bir bu doğru değildir. Örneğin, eğer A 1 ve B 8 ise, o zaman C = 1 + 8 = 9, sqp (ABC) = sqp (1 x 8 x 9) = sqp (1 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3) = 1 x 2 x 3 = 6 ve sqp (ABC) / C = 6/9 = 2/3. Benzer şekilde, eğer A 3 ve B 125 ise oran 15/64 ve A 1 ve B 512 ise oran 2 / 9’dur.

Masser, sqp (ABC) / C oranının keyfi şekilde küçük olabileceğini kanıtladı. Başka bir deyişle, sıfırdan büyük herhangi bir sayıyı adlandırırsanız, ne kadar küçük olursa olsun, A ve B tam sayılarını bulabilirsiniz, bunun için sqp (ABC) / C bu sayıdan küçüktür.

Buna karşılık, ABC varsayımı, [sqp (ABC)] ^ n / C’nin, n’nin 1’den büyük herhangi bir sayı olması durumunda minimum bir değere ulaştığını belirtir – 1.0000000000001 gibi, bu sayı 1’den biraz daha büyük olsa bile. İfadedeki değişiklik, matematiksel davranışında büyük bir fark yaratır.

Şaşırtıcı bir şekilde, ABC varsayımının bir kanıtı, Fermat’ın son teoremini matematiksel akıl yürütmenin bir sayfasından daha kısa sürede kurmanın bir yolunu sağlayacaktır. Nitekim, sayı teorisindeki birçok ünlü varsayım ve teorem, bazen sadece birkaç satırda, ABC varsayımından hemen sonra gelir.

Atina’daki Georgia Üniversitesi’nden Andrew J. Granville, “ABC varsayımı, sayı teorisindeki derin sorulara kıyasla inanılmaz derecede basit” diyor. “Bu tuhaf varsayım, tüm ana sorunlara eşdeğer olduğu ortaya çıkıyor. Olup biten her şeyin merkezinde yer alıyor.”

“Bugünlerde, sayı teorisindeki bir problem üzerinde çalışıyorsanız, genellikle sorunun ABC varsayımından kaynaklanıp kaynaklanmadığını düşünürsünüz” diye ekliyor.

Goldfeld Math Horizons’ta “ABC varsayımı Diophantine analizinde çözülmemiş en önemli sorundur” diye yazıyor. “Faydacıdan daha fazlasıdır; matematikçiler için de güzel bir şeydir. Bu kadar çok sayıda Diophantine probleminin beklenmedik bir şekilde tek bir denklemde kapsüllendiğini görmek, matematiğin tüm alt disiplinlerinin tek bir temel birliğin veçheleri olduğu hissini eve götürür kalbi saf dil ve basit ifade edilebilirliktir. ”

Veljan, 2.500 yıldan daha eski olmasına rağmen, “birçok insan yeni yorumlar, genellemeler, benzerler, ispatlar ve uygulamalar bulmaya devam ederken, bu ‘folklor’ teoremi ebediyen genç kalmaya devam ediyor.

KAYNAKÇA

Matematik Dergisi Ekim sayısı. 2000

Matematik Tarihi, Vermont Üniversitesi’nden Roger Cooke

Ahmed, A. 1999. Pisagor üçlülerinin uzantısı. Matematik Zenginleştirme

Beardon, A. 1997. Pisagor üçlüleri. Matematik Zenginleştirme.

Beardon, T. ve B. Hardy. 1998. Pisagor üçlüsünü resmetmek. Matematik Zenginleştirme

Veljan, D. 2000. 2500 yıllık Pisagor teoremi. Matematik Dergisi 73 (Ekim): 260.

Tam diyagramları olan makale şurada mevcuttur:
http://www.flashpapers.com/main/research-papers/pythagorous-theorem.html